晚上23:39开始写第二天上午10:00就要交的作业的我超勇的.

Problem Description

价格和收入变化对需求的影响: 当一个消费者用一定数额的钱去购买两种(或多种)商品时应作怎样的选择, 即他应该分别用多少钱去买这两种(或多种)商品? 请建立模型, 回答以下问题:

1. 设甲乙两种商品的单价分别是 $ q_1 $ 和 $ q_2 $ (元), 购买数量分别是 $ p_1 $ 和 $ p_2 $, 消费者有 $ s $ 元. 当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择, 即分别用多少钱买甲和乙, 应该使效用函数 $ v(p_1, p_2) $ 达到最大, 即得到最大的满意度;
2. 若商品种类推广至 $ m (m>2) $ 种, 该如何改进你的模型? 请尝试用生活中的实例验证你的模型;

Problem Analysis

题中的 $ v(p_1, p_2) $ 在经济学上被称为效用函数 (Utility Function) ¹, 而其值恒定时构成的曲线 $ v(p_1, p_2) = C $ 被称为无差别曲线族 (Indifference Curve Set) ², 一族单调降, 下凸, 互不相交的曲线.

我们的目标便是求分别用多少钱采购甲与乙, 使效用函数 $ v(p_1, p_2) $ 达到最大, 此时便能获得最大的满意度. 经济学上称这种最优状态为消费者均衡 (Consumer Equilibrium) ³.

因为消费者对两种商品的购买量分别为 $ p_1 $ 与 $ p_2 $ 时, 其花费分别为 $ q_1 p_1 $ 与 $ q_2 p_2 $, 于是问题等价为在条件

$$q_1 p_1 + q_2 p_2 = s$$

下, 求 $ p_1 $ 与 $ p_2 $ 使效用函数 $ v(p_1, p_2) $ 值达到最大.

Modeling

T1: 我们设消费者对两种商品的效用函数为

$$v(p_1, p_2) = p_1^\alpha p_2^\beta, \\ 其中 \alpha, \beta > 0, \alpha + \beta = 1$$

根据Lagrange乘子法,

$$L(p_1, p_2, \lambda) = p_1^\alpha p_2^\beta \\ + \lambda (s - q_1 p_1 - q_2 p_2),$$

令

$$\left\{ \begin{align*} & \frac{\partial L}{\partial p_1} = \alpha q_1^{\alpha - 1} q_2^\beta - \lambda q_1 = 0, \\ & \frac{\partial L}{\partial p_2} = \beta q_1^\alpha q_2^{\beta - 1} - \lambda q_2 = 0, \\ & 其他约束条件 q_1 p_1 + q_2 p_2 = s, \\ \end{align*} \right.$$

Solving

使用SymPy进行求解:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

import sympy as sym p1, p2, lamb, q1, q2, s, alph, beta = sym.symbols("p1 p2 lamb q1 q2 s alph beta") L = (p1 ** alph) * (p2 ** beta) + lamb * (s - q1 * p1 - q2 * p2) diff_p1, diff_p2, diff_lamb = sym.diff(L, p1), sym.diff(L, p2), sym.diff(L, lamb) sln = sym.solve( [ diff_p1 , diff_p2 , diff_lamb ], [ p1 , p2 , lamb ] ) p1_solved, p2_solved, lamb_solved = sln[0] print(sym.pretty(p1_solved)) # Also `.pretty_print(...)` or `.pprint(...)` of SymPy print(sym.pretty(p2_solved)) print(sym.pretty(lamb_solved))

程式输出求得的 $ p_1 $, $ p_2 $ 与 $ \lambda $:

1 2 3

alph⋅s ───────────── q₁⋅(alph + β)

1 2 3

β⋅s ───────────── q₂⋅(alph + β)

1 2 3 4 5 6

alph β ⎛ alph⋅s ⎞ ⎛ β⋅s ⎞ ⎜─────────────⎟ ⋅⎜─────────────⎟ ⋅(alph + β) ⎝q₁⋅(alph + β)⎠ ⎝q₂⋅(alph + β)⎠ ─────────────────────────────────────────────── s

因此我们便知程式求解得到:

$$\left\{ \begin{align*} p_1 &= \frac{\alpha \cdot s}{q_1 (\alpha + \beta)} = s \frac{\alpha}{q_1}, \\ p_2 &= \frac{\beta \cdot s}{q_2 (\alpha + \beta)} = s \frac{\beta}{q_2}, \\ \lambda &= \frac{(\frac{\alpha \cdot s}{q_1 (\alpha + \beta)})^{\alpha} \cdot (\frac{\beta \cdot s}{q_2 (\alpha + \beta)})^{\beta}}s \\ &\cdot \frac{(\alpha + \beta)}s = (\frac{\alpha}{q_1})^{\alpha} (\frac{\beta}{q_2})^{\beta}, \end{align*} \right.$$

亦即 $ p_1 = s \frac{\alpha}{q_1}, p_2 = s \frac{\beta}{q_2} $ 时消费者的满意度最大.

Validation

Error Analysis

在现实情况下的采购行动, 商品数量是离散化的, 不存在非整数件商品的说法, 后续可使用整数规划等方法进行解决与优化.

Extra

T2: 先将第一问的模型扩展至第二问的情形下, 设消费者的对 $ m $ 种商品的效用函数为

$$v(p_1, p_2, \dots, p_m) = \prod_{k=1}^{m} (p_k - \nu_k)^{\alpha_k}$$

其中,

1. $ \sum_{k=1}^{m} \alpha_k = 1 $;
2. $ \nu_k \ge 0 $ 为消费者对某商品的最低需求, 且 $ p_k \ge \nu_k $;

该问题可以等价于使

$$\ln v = \sum_{k=1}^{m} \alpha_k \ln (p_k - \nu_k)$$

最大, 根据Lagrange乘子法,

$$\begin{align*} L &= \sum_{k=1}^{m} \alpha_k \ln (p_k - \nu_k) \\ &+ \lambda (s - \sum_{k=1}^{m} q_k p_k) \\ \end{align*}$$

我们令

$$\left\{ \begin{align*} \frac{\alpha_k}{p_k - \nu_k} &= \lambda q_k, k = 1, 2, \cdots, m, \\ \sum_{k=1}^{m} q_k p_k &= s, \end{align*} \right.$$

从而又由

$$\begin{align*} 1 = \sum_{k=1}^{m} \alpha_k &= \lambda \sum_{k=1}^{m} q_k (p_k - \nu_k) \\ &= \lambda (s - \sum_{k=1}^m q_k \nu_k) \\ \end{align*}$$

即

$$\lambda = (s - \sum_{k=1}^m q_k \nu_k)^{-1}$$

求解得到需求函数

$$p_k = \nu_k + \frac{\alpha_k}{q_k} (s - \sum_{l=1}^{m} q_l \nu_l)$$

亦即

$$q_k p_k = q_k \nu_k + \alpha_k (s - \sum_{l=1}^{m} q_l \nu_l)$$

即消费者对于第 $ k $ 种商品的支出.

这个式子表明该项支出是收入 $ s $ 和价格 $ q_k (k = 1, 2, \cdots, m) $ 的线性函数, 同时也是超出最低支出的收入部分 $ (s - \sum_{k=1}^m q_k \nu_k) $ 的线性函数, 故称之为线性支出系统 (Linear Expenditure System) ⁴, 在计量经济学中有着广泛的应用.

References

¹. 百度百科词条 效用函数 ↩

². 百度百科词条 无差别曲线 ↩

³. 百度百科词条 消费者均衡 ↩

⁴. 百度百科词条 les (线性支出系统模型的简称) ↩