Fourier Transformation, Fourier变换.

Fourier Series

对于周期 $ T = 2\pi $ 的函数 $ f(x) = f(x \pm 2m\pi) $,

$$f(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k x)+ b_k \sin(k x))$$

其中:

• $ a_m = \pi^{-1} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(m x) \mathrm{d}x $, 其中 m >= 0 (m == 0 的情况可认为是提取均值使之上下位置归零);
• $ b_m = \pi^{-1} \int_{-\pi}^\pi f(x) \sin(m x) \mathrm{d}x $, 其中 m >= 1;

此处以a为例, 简单证明系数a与b由此而来:

$$\begin{align*} \forall & m \in \mathbb{Z^+}, \\ \because &\quad f(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k x)+ b_k \sin(k x)) \\ \therefore &\quad f(x) \cos{(m x)} = \frac{a_0}2 \cos{(m x)} + \cos{(m x)} \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k x)+ b_k \sin(k x)) \\ \therefore &\quad \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos{(m x)} \mathrm{d}x = \int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}2 \cos{(m x)} \mathrm{d}x \\ &+ \int_{-\pi}^\pi \cos{(m x)} \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(k x)+ b_k \sin(k x)) \mathrm{d}x \\ &= a_m \int_{-\pi}^\pi \cos^2{(m x)} \mathrm{d}x \quad (这一步使用了三角函系的正交性) \\ 又 &\quad \forall m \in \mathbb{Z^\ast}, \int_{-\pi}^\pi \cos^2{(m x)} \mathrm{d}x = \pi, \\ \therefore &\quad \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos{(m x)} \mathrm{d}x = \pi a_m, \\ 即 &\quad a_m = \pi^{-1} \int_{-\pi}^\pi f(x) \cos(m x) \mathrm{d}x, 其对 m = 0 的情形也成立. \\ \end{align*}$$

in Arbitrary Terms

推广至任意周期T, 则有:

$$f(x) = \frac{a_0}2 + \sum_{k=1}^\infty (a_k \cos(\frac{2\pi}T k x) + b_k \sin(\frac{2\pi}T k x))$$

此时:

• $ a_m = \frac{2}T \int_{-\frac{T}2}^\frac{T}2 f(x) \cos(\frac{2\pi}T m x) \mathrm{d}x $;
• $ b_m = \frac{2}T \int_{-\frac{T}2}^\frac{T}2 f(x) \sin(\frac{2\pi}T m x) \mathrm{d}x $;

需要注意两点:

1. 系数由 $ \pi^{-1} $ 变为 $ \frac{2}T $ 是因为区间的长度由 $ 2\pi $ 变为T;
2. 为了使在新的周期中对应原本的位置, 需要以系数 $ \frac{2\pi}T $ 乘kx;

Eular Formula

$$\exp{\{ \mathrm{j}x \}} = \cos x + \mathrm{j} \sin x$$

这是Fourier级数形式上由实数向复数变换的基础.

Fourier Series in Complex

复数形式的Fourier级数, 结合Eular公式可以书写如下:

$$\begin{align*} f(x) &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k \exp{\{ \mathrm{j} \omega k x \}} \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k (\cos(\omega k x) + \mathrm{j} \sin(\omega k x)) \\ &= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k \cos(\omega k x) + \mathrm{j} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k \sin(\omega k x) \\ \end{align*}$$

其中 $ \omega = T^{-1} $ 为级数各项的角频率, 而 $ c_m \in \mathbb{C} $ 为复数形式的Fourier系数:

$$\begin{align*} c_m &= T^{-1} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \exp{\{-\mathrm{j} \omega m x\}} \mathrm{d}x \\ &= T^{-1} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) (\cos(\omega m x) - \mathrm{j} \sin(\omega m x)) \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}2 \frac{2}T \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos(\omega m x) \mathrm{d}x \\ &- \frac{\mathrm{j}}2 \frac{2}T \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin(\omega m x) \mathrm{d}x \\ &= \frac{a_m - \mathrm{j} b_m}2 \\ 同理, c_{-m} &= \frac{a_m + \mathrm{j} b_m}2 = \overline{c_m} \\ \end{align*}$$

由此, 复数形式的Fourier级数与原本的实数形式一一对应.

需要注意的是! 此处的m取值是从 $ -\infty $ 到 $ +\infty $ 的全体整数, 而非仅自然数部分.

Fourier Transformation

回顾上文提及的Fourier级数, 我们可以发现, 实质上每一个系数 $ a_m $, $ b_m $, $ c_m $ (或 $ c_{-m} $ ), 皆是目标函数分解为正交函数系中不同项的系数, 但是当我们不知道目标函数的周期, 或者它根本不是周期函数的时候, 我们便无法使用Fourier级数进行分析, 这时便要把Fourier级数离散的各项系数取代为连续的函数.

对于离散的Fourier级数而言, 其各项系数(不论正负)为 $ c_m = T^{-1}\int_{-T/2}^{T/2}f(x)\exp{\{-\mathrm{j} \omega m x\}} $, 那么对于连续的情形而言, Fourier变换可以表示如下:

$$F(\omega | f(\tau)) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \exp{\{ -\mathrm{j} \omega \tau \}} \mathrm{d} \tau$$

Discrete

离散Fourier变换, 会用到一种被称为蝶形运算的方法:

稍作了解即可, 这里暂不赘述.